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  数 学  为什么国家强盛必然数学先进  从历史上看,在一个国家经济发展、国力强盛之时,数学水平必然会随之上升,这个国家就成为数学强国。17世纪英国进行产业革命,牛顿也在数学和力学上做出了革命性的贡献。资本主义大生产使法国的拿破仑政权十分强大,当时的数学中心便移到法国去了。19世纪下半叶,德国后来居上,生产水平超过法国,数学界也出现了像高斯这样的大数学家,数学实力渐渐在法国之上。20世纪初,美国工业经济发展异常迅速,数学在1930年开始雄踞世界首位,普林斯顿高等研究院成了世界数学中心。另一方面,前苏联在20世纪中叶成为超级大国,莫斯科大学的数学水平可以和普林斯顿相媲美。冷战时期,世界数学的格局是前苏联和美国领先,西欧紧随其后,日本则迎头赶上。  数学是科学发展的基础。经济发达了,科学技术进步了,就会提出许多重大的数学问题,鼓励数学家进行创造。强大的国防力量,也需要数学工作加以支持。人们常说,在信息时代,许多高科技说到底乃是一种数学技术。  中国是有优秀数学传统的国家,随着中国国力的增强,中国的数学水平也在迅速提高。我国的数学家为原子弹、氢弹、人造卫星的研制做出了重要贡献。与此同时,中国的纯粹数学研究也在大步前进。陈景润的“哥德巴赫猜想研究”以及其它一些分支的研究成果,已经达到世界领先水平。在国际数学家联合会里,中国(含台湾)是有5票投票权的数学强国之一。但就整体实力而言,中国的数学研究实力还达不到世界一流水平。所以,中国数学家有一个雄心壮志:使中国成为21世纪的数学大国。要实现这一目标,还需要几代人共同努力。希望寄托在未来的年轻一代身上。  知识点:数学、基础、实力  为什么要学好数学  从我们上小学一年级开始,直到高中三年级,这十二年的时间中,年年都要学习数学。在中小学课程中,数学、语文、外语并称三大主干课,世界各国都是如此。这主要有三方面的原因:  数学和语文、外语一样,也是一种语言,它是科学的语言。它使用数字、符号、公式、图像、概念、定理等位置关系,对于人类认识世界、探索未来起了很重要的作用。不懂数学,就不能理解科学。  数学对于培养、训练人的理性思维十分有益。如果说语文能用来表示人的感情、愿望、意志、进行形象思维的话,那么数学主要用来进行概括、抽象、推理和论证等理性思维。数学严格精确、从不含糊,对于培养人的思维能力是必不可少的。  数学用途广泛。小至上街买东西,大到设计飞机、火箭,控制卫星运行,全离不开数学。而且一个国家数学水平的高低,反映了国家是否强盛。它是科学发展的基础,它的发展进步,推动了科学技术的向前发展。  有的同学并不喜欢学习数学,常常是为了应付考试才去努力学习。其实中小学课本中讲授的数学知识都是数学的基础内容,是今后生活、工作、学习中心不可少的,如加减乘除,要反复计算,做起来很枯燥,但实际上哪里都能用上,买东西算账、丈量土地、做设计,哪一样又能离开数学呢?  数学是研究数与形的科学,凡是有“数量大小”和“形状位置”的事物都离不开数学知识。因为数学具有抽象性的特点,所以看上去干巴巴,很枯燥,但它往往会出人意料地不知在什么地方派上用场,让你大吃一惊。  知识点:数学、语言、理性思维、用途  为什么说0的意义不是没有  上学以后我们最先学习的是算术课,便认识了0这一数字,它可能是你所学过的最小的数字了。那么0是什么含义呢?若用手指数铅笔盒内铅笔的数目,1代表一支铅笔,则0便表示无铅笔,0的意思便是没有,若你学过减法,而10减10等于0,意思是说减没了,好像10个苹果让人吃掉了,最后一个不剩。看来0确实表示没有。  平常0是表示没有,可是它的意义不只表示没有,有时有其他的意义。  在人们日常生活当中,天气的冷热程度用气温来表示,它随着一年四季的交替而不断变化。像0摄氏度表示什么含义呢?它表示冰和水混合在一起的那个温度,自0摄氏度以上为零上,零上17到22摄氏度即最适于人类生活的温度;自0摄氏度向下则称为零下,零下温度,绝对值越大,则越寒冷。  再像在计算机内使用的0与1就不是算术上的0与1了,它分别代表电平的高低状态,1表示高电平,0表示低电平,这时0绝对并不是没有,却是一种相对较低的概念。  还有许多例子都能说明0在生活中有许多含义,不只表示算术内的没有。实际0本身一样充满了矛盾。像任意多个数与0相加,0并不可以改变它们和的值;但许多个数相乘时,只要其中有一个数若是0,它的乘积就是0,看0的威力有多么大啊。要解决这样的矛盾问题,我们一定要知道数学上的概念都是相对的,绝不是不变化的,0也是这样。  0在数学上是一个十分重要的数字,0至1的飞跃便体现了自无到有的过程,而1至百、千、万的变化也体现了很多的不同。0不只表示“没有”,而为“有”奠定了基础。但在生活中0较多地表示一种状态,为0以下与0以上的状态提供了可参照的标准,它的含义并不是“没有”能说得清楚的。  知识点:没有、意义、含义、状态  为什么1+1可以等于1  我们初学算术时,就已知道1+1=2了,这是确定无疑的。假如有人做加法而1+1的答数不是2,那就要得0分。但是,当我们学到了二进位制的计数法后,就知道在二进位制里1+1:10而不是1+1=2了。由于在二进位制里,根本就没有2这个数字。  现在这里又写了这样一个等式1+1=1。到底是什么道理呢?这叫做逻辑代数中的加法。  在逻辑代数里,也与二进制数一样,我们只有两个符号:1和0。但是二进位制数里的1,确实表示一样东西1,1是真正的数。0则表示没有,它也是真正的数字。而且在逻辑代数里,1和0并不是数字而是符号。在一般的逻辑电路中,1表示电路是通的,0表示电路是断的。  例如有一个电路:在这个电路里,E是电源,例如是几只干电池。P是一只小的灯泡。电路里通了电以后,小灯泡P就发光,这个时候的符号是1。电路里断了电以后,小灯泡P就不发光,这个时候符号是0。  A和B就是两个开关。按上了就通电,拉开了就断电。现在假如开关A按上,开关B拉上。那电路通过开关A接通了,灯泡P亮了,得1。  假设开关A拉开,开关B按上。那电路通过开关B接通了以后灯泡P亮了,也得1。  现在假如把开关A及开关B都按上,两条电路全接通了,那就应该是1+1了。但是灯泡P只可以发同样的亮光。所以也还是1。  因此,用数学式子来表示,就得1+1=1。  从这几个情况来看是完全正确的,开关A按上了是1,开关B按上了也是1,开关A和B一起按上了还是1,这究竟是为什么呢?  这就叫逻辑代数的加法。  在我国四个现代化过程中,逻辑代数这样的数学知识会慢慢变为人人都应该知道也能了解的常识了。从逻辑代数里,我们可以知道,0和1,并不只是代表数,而是代表一种情况。因为有许多有关数字计算习惯用的法则,在逻辑代数里就会发生一些新的概念。  数学家可以很成功地把楼梯开关的种种情况,通过一个数学式,变成0及1,并且还组成有趣的逻辑关系。我们日常在使用着的楼梯开关竟与数学密切的联系起来了,你想到过吗?  知识点:二进制、逻辑代数、加法  为什么会有“+-×÷=”这些符号  +、-、×、÷以及=这五个符号,小学生和学前幼儿也已懂得它们的意义以及用法,在高等数学里当然少不了它们。但是它们的来历确实经过了一段十分曲折的发展道路。  古希腊与印度人不约而同,都把两个数字写在一起,表示加法,如3+1/4就写成了31/4。直到现在,从带分数的写法中还可能看到这种方法的遗迹。  若要表示两数相减,就把这两个数字写得离开一些,如6-1/5的意思就是6-1/5。  于是后来,有人用拉丁字母的P(Plus的第一个字母,意思是相加)代表相加;用M(Minus的第一个字母,意思是相减)代表相减。如5P3就表示5+3,7M5就表示7-5。到中世纪后期,欧洲商业开始变发达。许多商人常在装货的箱子上画一个“+”字,表示重量超过一些;画一个“-”字,表示重量还不足。文艺复兴时期,意大利的艺术大师达芬奇在他的一些作品中也采用过“+”和“-”的记号。公元1489年,德国人威德曼在他的著作中开始正式用这两个符号来表示加减运算。到了后来又经过法国数学家韦达的大力宣传以及提倡,这两个符号才普及,到了1630年,最终获得大家的公认。  在我国,以“李善兰恒等式”闻名的数学家李善兰,也曾用“|”表示“+”;用“▲”表示“-”。因为当时社会上普遍使用筹算以及珠算来做加、减、乘、除,所以还没有创立专用的运算符号。  后来人们开始采用了印度数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0(叫阿拉伯数码,但发明者却是印度人),同时也采用了“+”和“-”的记号。至于×÷符号的使用,大约也不过300多年。传说英国人威廉·奥特来德于1631年在他的著作上用“×”表示乘法,于是后人就把它沿用到今天。  中世纪时,阿拉伯数字十分发达,还出了一位大数学家阿尔花拉子密,他曾经用“3/4”表示3被4除。大多数人认为,现在通用的分数记号,来源就是出于这里。至于“÷”的使用,能追溯到1630年一位英国人约翰·比尔的著作。人们估计他大概是根据阿拉伯人的除号“-”与比的记号“=”合并转化而成的。  在国内,人们也曾把单位乘法叫“因”,单位除法叫“归”,被乘数叫“实”,乘数叫“法”,乘的结果叫“积”。在除法中,尽管被除数与除数也叫“实”与“法”,但他们相除的结果,却叫“商”。  现代许多国家的出版物中,都是用“+”、“-”来表示加与减,“×”、“÷”的使用则远没有“+”、“-”来得普遍。如,一些国家的课本中用“·”来代替“×”。在苏联或德国出版物中,很难看到“÷”,大多用比的记号“=”来代替。实际上,比的记号的用法可以说与“÷”号基本一样,可以不必再画出中间的一条线。所以,这个“÷”号,现在用得越来越少了。  在这些符号当中,等号是相当重要的。巴比伦以及埃及曾用过各种记号来表示相等,但是最先得到公认的,是古代大数学家丢番图的记法esti和isas,简写为is。它们在中世纪,用来表示相等的记号有过特别大的混乱。第一个使用近代的“=”号的是雷科德的名著《智慧的磨刀石》,但“=”号直到18世纪才被普及,当时“=”号的两条线的长度经常被画得相当长。雷科德也曾说,他选择两条等长的平行线作为等号,原因是因为它们再相等不过了。  知识点:来历、记号、公认、普及  为什么要“先乘除,后加减”  为了防止四则混合运算时相互发生混淆,使计算得到一个已经确定的结果。人们先后结合生活和实际生产的各个需要,在四则混合运算中明确规定:要“先乘除,后加减”。为什么科学家会如此规定呢?因为这样规定是有一定道理的。它的理由如下:  1.这样规定运算顺序,更加符合生活实际需要。请看下面例子。  例1:王大妈到布店买了3米红布,每米红布17.8元,又买了2米白布,每米白布20.50元,买这些布一共需要用多少元钱?  列成算式:17.8×3+20.50×2  按照实际买布情况。先算出买红布和白布各要付多少钱,然后算出一共要付多少钱。即应先算乘法,再算加法。  例2:一车化肥10吨,分给ABC三个队,平均每队分3吨,还剩下几吨化肥?  列成算式:10-3×3  我们于是结合实际的那种情况,必须先算出一共分了多少吨化肥,于是得到“3×3”,然后用总数减去已分的吨数,就得出还剩下多少吨,即再算减法。  人们在生活和实际生产中,也会遇到先加减后乘除的一些问题,但是这比先乘除后加减的问题少多了。  2.在含有字母的式子中,我们会发现用乘、除号相互连接的算式,例如:x4、b÷5等可以被表示为4x、1/5b这些都可看做一项,而用加减号连接的式子,例如a-5、b+4等则分别表示两项。  通常在计算时,我们会把一项看成一个数,这样看来可使计算变得简便。  例如我们解方程式:4x-56=66,可以把4x看做是一个被减数来解此方程。这种规定可以大大简化计算过程,提高计算效率,节约计算时间。  3.从数学的发展形式上可以看到,加减法是最基本的运算,它们是数量变化的最低级的表现形式,先有加减法。乘除法是在加、减法经常运用的基础上产生和发展的。相同的数字连加产生乘法,相同的数字连减产生除法。  由此可见,乘除法比加减法更高级,在计算效率上比加减法更为提高一个新高度,所以我们把加减法看做第一级运算,把乘除法看做是第二级运算就是这个意思。这种类似的例子在实际运用中举不胜举。这里不再一一列举。  综上所述,运算顺序的规定是人们在生产和生活实际基础上,以及为了使计算更为简单化而产生的,所以这种规定是完全合理的。  知识点:生产、生活、简单化、实际、提高  为什么能从商品的条形码上  读出商品的价格呢  大超市里的各种商品上都贴着一组平行排列的、宽窄不一的黑白条纹,这就是条形码。付款的时候,商场里的收银员用一种特殊的设备在商品的条形码上一扫,商品的名称、价格等信息就读到计算机里去了,真是又简单又快速,太方便了。不知你想过没有条形码为什么能存储商品的价格信息呢?  条形码是由黑色和白色的条纹组成的,但是这些条纹本身的长度和宽度并不一样,有的宽些,有的窄些,有的还要长一点。请你仔细观察几个不同商品的条形码,虽然它们表面上看起来很相似,但它们绝对是有差别的,我们肉眼也能看得出来。其实这些条纹的长短、粗细、颜色的变化代表了商品的信息。正如我们以前使用数字表示商品的名称(如C91代表铅笔)和价格(如铅笔的价格是0.50元)一样,那么同在由于计算机技术的发展,我们使用条形码来表示这一切,本质上是一样的,只是表示的方法不同了而已。  条形码的出现计算机科学的发展密不可分,它是由于计算机的普及而产生的新型技术,也称为条码技术。条形码表示的信息只须能使用计算机设备来读取,收银员用来扫条形码的设备是光电阅读设备,也叫光笔。当光照到条形码上时,黑白条纹产生很大的对比,从而转化成不同强弱的电流,计算机根据电流和信号的不同查找保存在存储器里的数据,就得到了商品的信息。奇妙的是从左到右或从右到左扫描条形码都可以,读出的信息是一样的。条形码的出现,提高了工作的效率,也保证了信息传递时的准确无误。  你再仔细看看一个条形码,会发现一组条码的下面还有一串字符,实际上这也是条形码的一个组成部分。加入这一串人可以识别的字符,目的是考虑到当识别条形码的设备出现问题时的特殊情况下,这些字符就有用处了。它也记录了商品的信息。  条形码可以直接印刷到商品的包装上,而且现在它也不局限于黑色、白色了,但必须是两种对比反差很强烈的颜色才行。条码技术广泛应用于我们的生活中,几乎所有出版的图书都印有条形码,极大地方便了借阅、购书的需要。连汽车工业也有自己的条码系统呢!  知识点:条形码、信息、差别、光笔、字符  为什么地砖一般是正方形的或  正六边形的  地砖的花色品种很多,可是,它们一般不是正方形的就是正六边形的。这是什么缘故呢?  在正多边形中,只有三种能用来铺满一个平面,而中间没有空隙,这就是正三角形、正方形和正六边形。因为正三角形的一个角等于60°,六个正三角形拼在一起时,在公共顶点上的六个角之和等于360°;正方形的一个角等于90°,所以四个正方形拼在一起时,在公共顶点上的四个角之和刚好等于360°;正六边形的一个角等于120°,三个正六边形拼在一起时,在公共顶点上的三个角之和刚好等于360°。  如果用别的正多边形,就不能达到这一要求。例如正五边形的一只角等于108°,把三个正五边形拼在一起,在公共顶点上的三个角的和是108°3=324°,小于360°,有空隙。而空隙处又放不下第四个正五边形,因为108°4=432°,大于360°。  六个正三角形拼在一起,虽然没有空隙,但是它不及正方形和正六边形好看。所以在艺术设计上,一般较多用正方形和正六边形的地砖。  知识点:正方形、正三角形、正六边形、地砖  为什么大奖赛评分时要去掉最高分和最低分  校园卡拉0K大奖赛正在进行,一位同学唱完后,6个评委亮出了分数(10分为满分),由小到大依次为:9.00、9.50、9.55、9.60、9.75、9.90。按评分规则,去掉最高分和最低分,将其余4个得分作平均,该同学的最后得分是9.90+9.55+9.60+9.75/4=9.60分。  为什么要去掉最高分和最低分呢?这是为了剔除异常值。异常值就是过高或过低的评分,通常是由于裁判疏忽,或者欣赏兴趣特别,甚至在个别情形下有意褒贬所造成的。为了减少异常值对正确评分的影响,去掉最高分和最低分是合理的。  这与数学上的中位数的概念有一定的联系。什么是中位数呢?我们还是来看上面的例子,依次排列的6个数字中,处在中间的第3个和第4个数字的平均数就是中位数,即9.55+9.60/2=9.575。  如果评委的人数是奇数,譬如取前5个数字,则中位数是9.55,即第3个数字。处在中位数左边的数值,只要不大于中位数,任意改变其数值,并不会改变中位数的值。同样处在中位数右边的数值,只要不小于中位数,任意改变其数值,也不会改变中位数的值。由此可知,中位数的数值不受特大及特小极端值的影响,而平均数则会受到每个数值的影响,所以,中位数有时比平均数更能反映平均水平。例如,某个班级10个同学参加某项考试,有两人旷考算0分。10个人得分依次为:0、0、65、69、70、72、78、81、85、89。则其平均数是:  0+0+65+69+70+72+78+81+85+89/10=60.9  得65分的同学,其分数超过了平均数,按说属于中上水平了,其实不然。如果除去两名旷考的,他就是倒数第一名。这里,平均数没有真正反映平均水平。  那么,干脆剔除这两个异常值,按8个人平均行不行呢?当然不行。这时只有取中位数比较合适。中位数是第5名和第6名分数的平均值,即:70+72/2=71。超过71分是中上水平,低于71分是中下水平。这里,中位数才是真正的“中等水平”的代表。  当然,平均数也有优点,即考虑到了每个数字的作用。而去掉最高分和最低分的评分方法,正是吸收了平均数和中位数这两种方法的优点,既去除了异常值,又发挥了大多数评委的作用,是比较合理的方法。  知识点:平均数、中位数、异常性、合理  为什么在罗马数字中没有“0”  世界上每一个国家的文字都是不相同的,可是它们却有一种相同的文字,不需要经过翻译,每个人都会看得懂,这就是阿拉伯数字。0、1、2……9等,这样写起来既简单方便,又容易看懂,所以各个国家先后都采用它来计数。“0”是一个奇特的阿拉伯数字,它是在1、2、3、4、5、6、7、8、9、0这10个数字中诞生得最晚的一个。世界上各国早期使用过的数学中都没有0这个字。那时,如果在记数的时候碰到了零,那就只有空上一位数字来表示。  估计是在公元6世纪,“0”就已经从东方传到罗马了。但即使如此传播到,它仍在很长的一段时间之中也没有能够传入欧洲各个国家。因为那些国家中通常使用的是罗马数字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ,而在原有的9个罗马数字中本来就不存在0。罗马教皇还自己认为用罗马数字来表示任何数字不但完全够用而且十全十美,他们甚至向外界宣布:“罗马数字是上帝发明的,从今以后不许人们再随意增加或减少一个数字。”0是被人们禁止使用的。  有一次,有一位罗马学者在手册中看到有关于0的内容介绍,他认为0对记数是很有益处的,于是便不顾罗马教皇的禁令,在自己的著作中悄悄记载了一些关于0的用法,并把一些有关0的知识以及在运算中所起到的作用暗中进行传播。  这件事被罗马教皇知道后,马上派人把他给囚禁了起来,并投入了监狱。教皇为此还大发脾气地说:“神圣的数,不可侵犯,是上帝创造出来的,决不允许0这个邪物加进来,弄污了神圣的数!”再后来这位学者就被施以酷刑,从此以后就再也不能握笔写字了。  但是,科学总是不依靠人的意志而改变,而是按它自身规律向前发展的。那些勇于保卫科学真理的数学家们经过数年刻苦艰难的探索,终于使0这个数字冲破种种阻力并得以在全国乃至世界通用了。0这个数的广泛使用甚至超过了其他任何一个数字而具备了更多独特的意义。  知识点:阿拉伯数字、科学、禁令  为什么没有最小公约数和最大公倍数  在数学里我们曾学过最大公约数以及最小公倍数,或许你会提出问题,为什么公约数要讲最大,但公倍数却又讲最小呢?是否有最小公约数和最大公倍数呢?假如有的话,为什么不讲呢?  我们首先从一个具体情况来看:  例如有正整数16和24,它们有很多公约数,就是:1、2、4、8,它们的最大公约数是8,最小公约数是1。  再看正整数15和56,它们都只有一个公约数,就是1。我们从这里能看出,任何两个正整数,总会有公约数1,且1总是它们的最小公约数(公约数总是只讲整数的)。两个或两个以上的数,它们的最小公约数既然总是1,就不必讨论了。这也就是我们不谈最小公约数的道理。但这并不是主要的道理。主要的道理在哪里呢?  我们学习数学,主要的目的是,必须要数学知识为我们服务,而不只是拿数学知识做游戏。两个正整数的最大公约数,在分数约分里是用得到的。通过约去分子分母的最大公约数,我们就能把一个分数化成最简分数。这样就相当简单了。而最小公约数1,却没有什么用处。这就是我们不研究最小公约数的原因。  那么,两个正整数是否有最大公倍数呢?例如有两个正整数16和24,它们的最小公倍数是48。显然48乘上任何整数之后依然就是16和24的公倍数。  例如48×2=96,48×3=144,48×4=192,48×1000=48000等都是16和24的公倍数。由于自然数没有最大的数,因此也就没有最大的公倍数。  实际上,在分数通分的时候,也只须用到最小公倍数。假如用较大的公倍数,还不方便。既然没有最大公倍数,也不需任何较大的公倍数,这就是我们只研究最小公倍数的原因。  知识点:公约数、自然数、通分  为什么有近似值  有的时候可能有人将问你:“你们年级有多少位同学呀?”你并不知道确切的数字,可你知道你班上有35位同学,共有4个班,因此你会说:“大概140名吧!”这时你所给出的数字便是近似值,由于你不知到底有多少位同学,所以就用近似值取代了准确值;并且你的分析也十分正确,年级中总共有143位同学,你所给出的近似值与准确值是十分接近的。近似值是相对于准确值而说的。它非常接近准确值却又绝不是准确值。而在我们的日常生活当中,近似值是广泛应用的,由于有的时候我们不需要十分严格、确切,使用近似值完全能够行得通。  若问到一个人的年龄时,人们大多只说多少岁,而不用说某年某月某日出生。除了是遇到了同年出生的人,才会用到某年某月某日出生。若人们问时间时,回答的人也一般只说几点几分,而不会精确到几秒;但问路时,回答的人也会说大约200米、500米这样的话,根本没法准确地说出多少米,况且问路的人也绝不会因为听到的是近似值而不满意的。  可是有的时候使用近似值却是完全行不通的。像收音机里每一小时的报时的信号,和真正准确的时间只差千分之几秒,因此远洋航行的轮船就能根据这个信号来确定自己的位置。像发射导弹、定向爆破的定位装置,都必须严格地计算角度、炸药用量的数字,不然真是差之毫厘,谬以千里,结果是不堪设想的。  那么何时使用近似值,何时使用准确值呢?这要看实际问题的需要,以实际问题的需要来决定应该准确到何等程度。  像谈论年龄,我们仅准确到年;但谈论时间,一般都要准确到分钟;但体育比赛的结果,便要精确到秒了。  因此在各类不同问题中,量的准确选择是绝对不同的。正像量布的长度和测量公路长度所要求的准确度是完全不一样的。  知识点:人数、年龄、时间、实际  为什么游泳圈也叫救生圈  只要游过泳的人便都有过使用游泳圈的记忆,当你套上五彩缤纷的游泳圈在水里游泳、嬉戏的时候,你是否想到过,游泳圈的浮力有多大呢?为何它能把一个人托在水面上呢?而它的浮力是如何计算的呢?用数学知识我们应该知道,若把游泳圈充满气之后的体积,乘以水的密度,然后再减去游泳圈自身重量,再乘以常数g(9.8),得到的结果便是游泳圈所有的浮力。  水的密度一般在计算中可以取每立方厘米l克,即,每立方厘米的水的质量是1克。下面,我们看看游泳圈的体积如何计算。  要先把游泳圈充好气,然后再用有刻度的直尺来测量一下下面三列数据:①环形的宽度w,它是游泳圈的环的宽度,要注意,在测量的时候要让尺的延长线通过游泳圈的中心轴线,测量出的数据会比较准确。②游泳圈的高h。让游泳圈平放在地上,量出它的高度。③充好气之后游泳圈的内径为r。有了这三个数据后,游泳圈的体积便可以按下列公式计算出:V=1/2ππwh(r+1/2w)。  其中π为圆周率,取π=3.14,w、h、r分别为充气之后游泳圈的环宽度、高度与内径长度。让我们来具体计算一下。市面上出售的一种没充气时最外边的圆直径是75厘米的塑料游泳圈。充足以后量得环宽w=17厘米,环高h=13厘米,环内径r=15.5厘米,自重为170克。把这些数据代到计算公式里就可以得出V=1/2×3.143×.14×17×13(15.5+17/2)=26148立方厘米。  这样,这种游泳圈所具有的浮力大约是254.5牛顿(■×9.8)。  因为人在水中也受到来自水的浮力,若再加上游泳圈自身的浮力,便会把人托出水面,因此游泳圈也叫救生圈。  知识点:浮力、宽、高、内径  为什么汽油桶、热水瓶是圆柱形的  汽油桶、热水瓶等,都是用来装液体的容器。不知平时你注意过没有,装液体的容器,大都是圆柱形的。这是否有数学方面的道理呢?有的。  我们生产一件容器,都希望可以用最省的材料,来装一定体积的液体。或者说,用同样的材料,做成的容器的容积最大。  在平面几何里,我们学过计算圆面积以及一些正多边形的面积或周长的方法。例如:一个面积为100平方厘米的正方形的周长是40厘米;而同样面积的正三角形的周长大约等于45.6厘米;而同样面积的圆的周长只有35.4厘米。也就是说,面积相同时,在圆、正方形与正三角形等图形中,正三角形的周长最大,正方形的周长比较小,圆的周长最小。因此,装同样体积的液体的容器中,假如容器的高度一样,那么,侧面所需的材料以圆柱形的容器最为节省。所以,汽油桶、热水瓶等装液体的容器,都是圆柱形的。  有没有比圆柱形更为省料的形状呢?有的。依据数学原理,用相同的材料做的一些容器中,球形的容器的容积总要比圆柱形的大。就是说,做球形的容器,能节约材料。但是,因为球形的容器易滚动,而且放不稳,它的盖子也不容易做,因此不实用。  放固体的容器,例如盒子、箱子、柜子等,为什么不去做成圆柱形的呢?尽管做圆柱形的容器相当省料,然而装起固体东西却不经济,因此通常把它们做成长方体的。  知识点:液体、容器、节省  为什么照相机用三角架而不用四角架  你肯定见过照相机所专用的三角架,它伸出来三条长长的腿,稳稳地托住上面的照相机,使拍出来的照片将不会因为拍摄者手的轻微移动而变模糊。除了照相机的三角架外,拍电影所用的摄像机也都有一个三脚架,往往脚上还有副轮子,以方便摄像机的移动。  在我们生活中有四只脚的东西也很多,像桌子、椅子和各种鞋架子、超市里的货物架等等,不是都很稳当吗?为何照相机却不用四脚架,而用三脚架呢?  这是由于照相机利用了一个很重要的原理:不在同一条直线上的三个点,能确定一个平面,而且只能确定这一个平面,也就是说,那个平面是惟一性的,只可能有一个,绝对不可以有第二个。照相机的三个脚便构成三角形的各个顶点,它们不在同一条直线上,若按照上面的性质,这三点刚好构成了三脚架底面的惟一平面,三脚架上边的照相机便稳当地固定在这个平面上,因为是惟一的平面,照相机才不会晃动,不会影响拍摄的效果。  在生活当中,我们也有这样的经验:有时候因为地面不平整,椅子的一只脚总上下地动,一会向上,一会向下,让坐在上面的人很不舒服。由于不在同一条直线上的三个点构成一个惟一平面,但椅子都有四个脚,相当于有四个点了,它们中的三点便构成了一个平面,剩下的那个点便可能在这个平面上,也可以不在这个平面上。若椅子的第四个脚不在另外三只脚构成的平面上的时候,这只脚便会悬着,椅子便晃了。  照相机若使用四脚架,就一定保证四个脚同时在一平面上方能稳定,这便要求地面十分平整,若地面不平,照相机便放不稳当。桌子、椅子与各种架子一般都是摆在室内,地面都很平整,但照相机可不一定全在屋内使用啊,有时还要在森林内拍照呢。那便不如使用三脚架了,三脚架对地面无要求,无论地面情况如何,照相机总能放得稳稳当当。这便是照相机使用三脚架的原因。  你曾经野营露宿过吗?是否还记得大家生了火,便支了三根木棒,上面的瓦罐来煮饭烧水吗?这与照相机三脚架的原理是同样的,只是我们把照相机放在它上面,而把瓦罐吊在了下面而已,下次野炊的时候,可一定要动脑筋啊。  知识点:顶点、平面、平整  为什么π值是永不循环的  有一个关于圆周率的歌谣,盛行于古代:“山巅一寺一壶酒,尔乐苦煞吾,把酒吃,酒杀尔,杀不死,乐而乐。”  圆周率是圆的周长与直径之比,表示的是一个常数,符号是希腊字母π。人们为了计算圆周率,公元前便开始对它进行计算。魏晋时期刘徽曾于公元263年用割圆术的方法求到3.14,这被称为“徽率”。  在公元460年,祖冲之应用刘徽的割圆术,算得圆周率为3.1415926。祖冲之所求的π值,保持了1000多年的世界纪录。  1596年,荷兰数学家鲁道夫经过长期的努力和探索,把π值推算到15位小数,打破了祖冲之长达1000多年的纪录,后来他本人又把这个数推进到35位。  18世纪初,圆周率达到72位。19世纪时,圆周率又求到140位、200位、500位。1873年,威廉·欣克用了几十年时间,将π值算到707位。  到了1946年,世界上第一台电子计算机(ENIAC)问世美国,有人在计算机上用了70个小时,算出圆周率达到2035位。1955年达到10017位,1962年达到10万位。1973年达到100万位,1981年日本数学家把它推算到200万位。1990年美国数学家继续新的计算,将π值推到新的顶点4.8亿位。  知识点:常数、割圆术、圆周率、推算  为什么国王无法把棋盘里的米赏给术士  从前在古印度有个国王,天性喜欢玩,有一次他下令在全国张贴招贤告示:如果谁能替国王找到奇妙的游戏,将给予重赏。  一个术士(术士是指有谋略,有智慧的人)揭了招贤榜。他发明了一种棋,使国王玩得爱不释手。于是,国王高兴地问术士:“你对本王的赏赐有什么要求?”术士赶忙拜倒说:“大王陛(bì)下,小小的术士没有特殊要求,只请大王在那棋盘的第一个格子里放下一粒米,然后在每一个格子里都放进比前一个格子多一倍的米,六十四个格子放满了,也就是我要求的赏赐了。”  国王一听,这么大个国家区区这一点米算得了什么,于是一口答应了。可是,当国王找来算师一算棋盘中的米,顿时大吃一惊。原来即使把全国的米都运来,也无法填满棋盘上的64个格子。  这是为什么?国王究竟该赏给术士多少米呢?  我们来算一下:第一个格子是一粒米,第二个格子里放两粒米,共有三粒米,用公式表示为1+2=3=22-1,第三个格子中有四粒米,于是第一、二三个格子中一共为七粒米,1+2+4=7=23-1。再加上第四个格子中的八粒米,共15粒,1+2+4+8=15=24-1,……一直这样加下去,可以推知64个格子中共有米为264-1,这个数是多少呢?大约等于18,446,744,073,709,551,615,共20位。啊!真是不算不知道,一算吓一跳。这个数字之大是不可想像的,例如用仓库来装这些米,就要有高4米、宽10米的仓库从地球盖到太阳,再从太阳盖回地球那么长!  为什么这个数字会这样惊人呢?原来,聪明的术士是运用了数学上的几何级数的知识,使得棋盘中米的数量沿几何级数向上增长,使一粒米、两粒米这样的小数目很快变成了一个不可思议的大数字。缺乏数学知识的国王怎能理解几何级数的奥妙呢?  知识点:米粒、几何级数  为什么时间和角度的单位  用六十进位制  时间的单位是小时,角度的单位是度,从表面上看,它们完全没有关系。可是,为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢?为什么又都用六十进位制呢?  我们仔细研究一下,就知道这两种量是紧密联系着的。原来,古代人由于生产劳动的需要,要研究天文和历法,就牵涉到时间和角度了。譬如研究昼夜的变化,就要观察地球的自转,这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的。因为历法需要的精确度较高,时间的单位“小时”、角度的单位“度”都嫌太大,必须进一步研究它们的小数。时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质:使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍。以1/60作为单位,就正好具有这个性质。譬如:1/2等于30个1/60,1/3等于20个1/60,1/4等于15个1/60……  数学上习惯把这个1/60的单位叫做“分”,用符号“ ′ ”来表示;把1分的1/60的单位叫做“秒”,用符号“ ″ ”来表示。时间和角度都用分、秒作小数单位。  这个小数的进位制在表示有些数字时很方便。例如常遇到的1/3,在十进位制里要变成无限小数,但在这种进位制中就是一个整数。  这种六十进位制(严格地说是六十退位制)的小数计数法,在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯,所以也就一直沿用到今天。  知识点:时间、角度、六十进位制  为什么说统计无处不在  统计数字是现代社会不可少的,大到国家每隔一定年限对全国人口进行的普查统计,小至一位老师在考试结束之后对学生的成绩进行分数统计。而今天,统计学的理论和方法不仅得到了广泛的应用,还改变着人们对世界的认识。那么,统计是怎么出现的呢?  早在17世纪,有一个叫约翰·格朗特的英国商人,对政府公布的死亡表进行了研究。他发现各种疾病、自杀和五花八门的事故所导致死亡的人数所占百分比是基本不变的,而因传染病死亡的人数所占百分比波动较大。1662年,他把自己的研究成果发表在名为《对死亡表的自然观察和政治观察》一书中,这本书被称作“真正统计科学的开端”。  统计学就是用于对足够多的反映社会现象的量进行观察研究,并揭示其规律的科学。  例如,考察人的智力情况。任意选择一些人,用设计好的试题测验他们的智力。测试的结果是:他们的智力分布呈现出一条钟型曲线。即智力一般的人占绝大多数,智力低下和智力超常的人占少数。而且测试的人越多,曲线就越呈钟型。人类的智力在总体上服从一种确定的定律,这一规律只有依靠统计学的研究才能发现。  现代统计学有什么特点呢?  首先,现代统计在概率论的基础上,建构了其独特的数学方法;  第二,统计采用抽样的方法,注重由样本(抽出的样品称样本)对总体进行推断;  第三,统计离不开大量的观察,并分析观察结果的规律性;  第四,统计学必经研究科学的,有效的实验设计(例如,智力测验中试题的设计)。  进入20世纪,统计学获得了巨大的发展和迅速的普及。试想:在自然科学领域,物理化学、地质学、遗传学,在社会科学领域,经济学、社会学、管理学,甚至民意测验、资产评估、产品销售、犯罪案件等等,哪一项能离开统计?  统计真是无处不在。  知识点:统计、现象、规律、特点  为什么中国把“毕达哥拉斯定理”  称为“勾股定理”  在平面几何中,有这样一条著名的定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,即:  △ABC是直角三角形,∠C=90°,  设:BC=a,AC=b(a  则有:a2+b2=c2。  这条定理在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,而在中国,却被称为“勾股定理”。这是为什么呢?  原来,西方人认为是毕达哥拉斯在公元前500年发现的这一定理,早在这年代之前就被中国数学家发现了。在我国现存最早的数学著作《周髀算经》上,记载了公元前12世纪周公和商高的一段对话。商高的答话中有一句为“……故折矩,此为勾广三,股修四,径隅五”。后来这话,简称为“勾三股四弦五”,即:a:b:c=3:4:5,这就提出了该定理的特殊形式,接着该书在下文又记载了公元前六七世纪荣方和陈子的一段对话,陈子说:“若求邪(斜)……勾股各自乘,并而开方除之。”即■=c,c2=a2+b2。这进一步说明了该定理的一般形式。  1951年,我国的《中国数学杂志》第一期上曾就这一问题进行讨论,因为商高和陈子都是比毕达哥拉斯早年代的人,所以有人主张将“毕达哥拉斯定理”改称“商高定理”或“陈子定理”。最终,我们以“勾股定理”为其命名,这样既准确反映了我国古代数学的辉煌成就,也形象地概括了这一定理的内容。  知识点:毕达哥拉斯定理、勾股定理  为什么古希腊会取得非常辉煌的数学成就  提到古代数学,就要提到古希腊。《几何原本》就诞生在古希腊,这部雄视数学界两千多年的巨作让古希膜当之无愧地成了“几何学之母”。除此之外,它还使得算术从几何学中分离出来成为独立的数学学科,同时解决了大量的代数方程问题,高等数学也开始萌芽了。  为什么古希腊会取得如此辉煌的数学成就呢?  首先,哲学的发展使人们渐渐不满足于了解事物是“怎么样”的,而更希望知道“为什么”。一些人开始提出这样的问题:“为什么等腰三角形两底角相等?”“为什么圆的直径将圆二等分?”虽然通过简单的折纸实验就能证实这些论断,但是人们渴望得到更进一步的逻辑论证。这样一来,古希腊数学在逻辑体系上就有了全新的发展,从而推动了几何学的巨大进展。  第二,任何学科的发展都离不开交流。古希腊的数学也是吸收了他人所长,从而得到进步和创新的。被公认为希腊几何学鼻祖的泰勒斯就曾在埃及居住和学习。他回到故乡后建立学校,传授带回来的数学和其他学科的知识。他和他的一些学生很快赶超了埃及的水平,在古希腊的数学发展中起到了极大的推动作用。  第三,社会生产和实际向来都是科学发展的主要动力。在当时的古希腊已经有了比较雄厚的国力和比较先进的科学技术,航海与商业的发展也不断向数学提出新的研究课题,而数学又在不断应用中得到了新的发展。  古希腊数学成就的取得和人的因素是分不开的。许多数学问题的解决往往都凝聚着几代人的心血,最终的突破性进展通常由一个或几个人完成。在古希腊的科学文化中心——亚历山大博学院,集中着一大批优秀人才,为数学突破提供了必要的条件。毕达哥拉斯、希波克拉底、海伦、丢番图等在史书上被永远铭记的数学家都是古希腊数学成就的缔造者。  在现今的中国,科技的发展对数学提出了崭新的要求,对外开放和综合国力的增强为学习和发展提供了良好的机遇,能否创造中国数学的辉煌,就在于我们每个人的探索与追求。  知识点:古希腊、数学、哲学、交流、动力  为什么诺贝尔奖获得者中有许多数学家  诺贝尔科学奖中有物理学奖、化学奖、医学奖、经济学奖等等,但是没有数学奖。原因是什么,现在已无从得知。想来是诺贝尔认为数学和科学不同,科学是研究客观现实的,有明确的可以观察的物质形态,而数学是研究数和形等抽象概念的,两者之间有明显的差异。当然,这只是猜测而已。  然而,由于数学是科学研究的有力工具,许多重大的科学成果主要依靠数学工作而获得,因此一些数学家先后获得诺贝尔奖。例如:前苏联的康脱洛维奇是著名数学家,他以线性规划的研究获得1971年的诺贝尔经济学奖;数学家A·柯马赫和G·洪斯费尔德用数学方法完成了CT扫描技术,对医学诊断有极大贡献,因而获得了1979年的诺贝尔医学奖;H·霍普顿因为用数学方法测定晶体结构,获得了1985年的诺贝尔化学奖。  由此看来,数学和科学是不可分割的。要想在科学上做出杰出的成绩,数学是不可缺少的工具。年轻时学好数学,将会给未来的科学生涯打下坚实的基础。  知识点:诺贝尔奖、数学家、数学、工具、科学  为什么女数学家比较少  自从人类社会由母系社会转为父系社会以后,世界各国都存在着“男尊女卑”、“重男轻女”的现象。妇女在社会上没有地位,也就不可能产生很多的女科学家。  在科学上争取“男女平等”的社会变革,是19世纪末20世纪初才开始的。出生于波兰的M·居里夫人先后获得了诺贝尔物理学奖和化学奖;在中国成长的吴健雄博士是美国物理学会的第一位女会长。她们是女科学家的杰出代表,许多女青年以她们为榜样走上了科学道路。  相比之下,女性在物理学、化学、生物学、医学等领域的成就较大,而在数学领域的成就较小,从事数学科学研究的女性也特别少,这和数学界长期歧视女性有关。世界上第一个女性数学教授是俄国的柯伐列夫斯卡娅。她在俄国找不到工作,后来在1889年成为瑞典斯德哥尔摩大学的数学教授。20世纪最伟大的女数学家E·诺特,是抽象代数的奠基人,但在1920年的德国格丁根大学,校方一直只让她当讲师,不许她当教授。  第二次世界大战之后,情况有很大改变。J·罗宾逊在1983年当选为美国数学会第一位女性会长,中国的胡和生教授成为中国科学院第一位女性数学院士。1998年美国产生1216个数学博士,其中919个为男性,297个为女性,女性数学博士占全体博士的近四分之一。中国女数学家的人数也在增加。  教育学和心理学的研究一再表明,女学生和男学生的数学能力没有什么差异,所谓“女生不适合读数学”是完全没有根据的。可以预料,随着社会的进步和男女平等观念的完全树立,女性数学家一定会在21世纪做出辉煌的贡献。  知识点:数学家、歧视、平等  为什么采用公历纪年  2004年的二月共有29天。若你再翻翻以前的日历,便会发现2003年的二月只有28天,再看看2002年的日历,2002年的二月份同样是28天。我们便把二月份中只有28天的公历年叫平年,而把二月份有29天的公历年叫做闰年。2004年便是闰年。  为什么要分平年与闰年呢?  天文学上将地球绕太阳自春分点回到春分点的时间,叫做一个回归年,它的长度却不是365天,而是365.2422天。若一年按照365天计算,则每年多出来的0.2422天又该怎么办呢?从前人们规定平年365天,每4年便有一个闰年,是366天。像这样计算是拿365.25作为一个回归年,几乎每年要长11分14秒。  像这样的误差看上去似乎很小,可积累起来就不得了,从公元前46年算起,至16世纪,竟然租差10天之多,后来3月21日的春分提早到了3月11日。因此人们也只好规定1582年的10月5日当作10月15日,补回了所丢失的10天。  为了避免之后再次出现误差积累的现象,对闰年便又做了重新的规定:只要能被4整除的公历年便是闰年;但逢百的年份必须能被400整除才能是闰年。像1996年是闰年,2000年能被400整除,因此也是闰年,但2200年便不是闰年了。闰年指的是公历年,但闰月都是农历年的现象。像1998年的农历闰5月,这一年会有两个5月,这又是为何呢?  众所周知,我国的节气是农历所特有的,像2月4日立春,12月翅日冬至等等;农历所反映的是指月亮的盈亏变化(如海水的潮汐一样),而且照顾了寒暑的时令。它规定了大月是30天,小月是29天。由于月相变化一周期的时间为29.5306天,这样几个月的平均值便很接近月相变化一周期所用的时间了。所以规定了平年有12个月,全年都354日或者355日,和公历的回归年平均相差有1O日21时,为了改正这个误差,因此规定每三年便设有13个月,全年共有384天。通过这种巧妙的安排,才让每月所表示的节气相差不会太大。因此农历的闰月实际上便是农历年的闰年,是为了和公历相配合才设置的。  因为使用农历纪年在节气上不可以像公历那样大体上比较固定,并且它的计算也很复杂,平年和闰年天数相差很多天,因此采用公历比农历普遍而且也很方便。  知识点:平年、闰年、回归年、节气

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